第8回：データの予測(1) 回帰分析 [DAT3] | [Prev] [Next] Update: 2003/05/30 河路 武志

前回の課題

財務データ間の相関関係

• 相関関係：サンプルデータ全体についての変数間の直線的傾向

　

提出課題から

（Ｋさん）
　従業員と売上高の相関関数は０．９６で非常に相関があるといえる。売上高が高くないと従業
員を雇えないし、売上高が大きいということはその会社の仕事が多いというわけで、従業員が多
くいないと経営できないと思います。

　売上高と利益率の関係は０.１２でそれほど相関がない。上記にもあるように売上高が高いと
従業員を多く雇う必要があり、人件費が多くかかり、出費が多くかかるので売上高がいいといっ
ても必ずしも儲かっているとは限らない。


（Ｎさん）
売上高と利益率の関係は相関係数が上位２社に関係なく0.1くらいなので
相関関係はないといえる。しかし、散布図で見てみると
売上高が多い企業は利益率が2〜4前後であることに気づく
企業の規模が大きくなるにつれ、利益率が安定してくるようだ

売上高と売上高利益率の相関（相関係数 r=0.12）

講　義

今日の目標

回帰分析の基本パターンを理解し、分析ツールを使って回帰分析を行う方法を実習する。

　２変数の間に結果としての関連性があることを相関と呼ぶ。回帰分析は、２変数に相関がある場合に、一方の変数によって他方の変数を説明する予測式（回帰式）を推定する手法である。

1. 既知のサンプルから、説明のための回帰式を推定する
2. 回帰式を利用して、既知のデータを説明、未知のデータを予測する
3. 散布図と回帰直線のグラフを作成し、回帰分析を理解する

例題：焼肉チェーン店の売上高予測

「牛楽」は郊外のロードサイドに展開している焼肉チェーンである。これまで、１５エリアに出店し、今後も店舗数の拡大を計画中である。 　マーケティング調査によって、それぞれの店舗の「１ヶ月の売上高」と「道路の交通量」に関連があることがわかった。（相関分析） 　次の出店候補地として、Ａ，Ｂ，Ｃの三つ国道沿いに適当な出店候補地があることがわかっている。既存店舗で得られたデータから、これら三つの新規店舗候補の売上高を予測したい。

店番号 交通量 (百台/日) 売上高 (万円/月) 1 149 1310 2 188 1970 3 282 2220 4 183 1700 5 221 1680 6 128 1550 7 153 2050 8 197 2690 9 125 2060 10 77 1260 11 210 2610 12 258 2480 13 254 2500 14 114 1570 15 174 1660 　 　 　 Ａ 125 ???(2060?) Ｂ 207 ???(2600?) Ｃ 572 ???

分析０：相関分析

　すでに営業している店舗の交通量と売上高の間に、どの程度の相関があるのかを分析する。

分　析	分析結果
相関係数	ｒ＝0.682であり、強い正の相関がある
散布図 （交通量×売上高）	全体としてひとまとまりで、右上がりの分布

　相関分析から相関関係が示され、その因果関係も理解できる。よって、以下では、このサンプルデータをもとに、道路の交通量から、各店舗の売上高を説明する予測式（回帰式）を推定することを試みる。

分析１：予測式（回帰式）の推定

回帰分析

　交通量（Ｘ）と売上高（Ｙ）に、直線的な関数関係があると仮定する。

回帰式：Ｙ＝ａＸ＋ｂ
　Ｘ：交通量（百台／日）
　Ｙ：売上高（万円／月）
　ａ，ｂ：パラメータ

　この回帰式のパラメータａ，ｂを統計学的に推定しようとする手法が、回帰分析である。

最小２乗法

Ｙ_i＝ａＸ_i＋ｂ＋ｅ_i
　ａ，ｂ：推定されるパラメータ
　ｅ_i：回帰式からの誤差

　Σｅ_i²→最小 となるように、ａ，ｂを推定する手法を最小２乗法という。回帰分析で一般的に用いられる手法である。

　回帰分析（最小２乗法）については、次回で詳説する。

決定係数

　回帰分析によって最適なパラメータａ，ｂが求められたとき、その回帰式の当てはまりの程度が、決定係数Ｒ²で表される。

　　当てはまり
　←悪い　良い→
　+------------+
　0 ≦ Ｒ2　≦ 1

　

分析結果

　Ｙ＝５．５Ｘ＋９６０

• ａ＝５．５
• ｂ＝９６０
• Ｒ²＝０．４６５

分析２：売上高の説明・予測

既存店の売上高の説明

　推定された回帰式を使って、既存店舗の売上高を説明する。

　Ｙ＝5.5Ｘ＋960 のＸ（交通量）に各店舗の交通量を代入して、（交通量で説明される売上高）を計算する。

店番号	交通量 (百台/日)	売上高 (万円/月)	説明売上高 (万円/月)	説明の誤差 (万円/月)
-	Ｘ	Ｙ		ｅ
1	149	1310	1779	-469
2	188	1970	1993	-23
…	…	…	…		…
7	153	2050	1801	249
…	…	…	…		…
9	125	2060	1647	413
…	…	…	…		…
15	174	1660	1916	-256

• 店舗１は、実際の売上高が１，３１０万円に対して、交通量で説明される売上高が１，７７９万円である。誤差−４６９万円は、他のマイナス要因（例えば、競合店の多さ、店の狭さ、サービスの悪さ）に起因すると考えられる。
• 店舗７は、実際の売上高が２，０５０万円に対して、交通量で説明される売上高が１，８０１万円である。誤差２４９万円は、他のプラス要因（例えば、競合店の少なさ、店の広さ、サービスの良さ）に起因すると考えられる。

　

新規店舗候補の売上高の予測

　推定された回帰式を使って、新規店舗候補の売上高を予測する。

　Ｙ＝５．５Ｘ＋９６０ のＸ（交通量）に各店舗候補の交通量を代入して、（交通量で予測される売上高）を計算する。

候補	交通量 （百台／日）	予測売上高 （万円／月）
Ａ	125	1,647
Ｂ	207	2,098
Ｃ	572	???

• 候補Ａの交通量は１２５で、店舗９と同じ。このことだけで、売上高の予測値を２，０６０万円とするのではなく、既存店舗全体の傾向から推定した回帰式で予測した１，６４７万円が、候補Ａの予測値となる。
• 候補Ｃの交通量は５７２と、既存店舗の値を大きく超えている。この場合でも、回帰分析は適用できるだろうか？

実　習

　交通量と売上高のデータ dat08.xls を利用して回帰分析を行う。

０．相関分析

　「相関分析」シートで、相関分析を行う。

統計量の計算

• 交通量，売上高
• 平均　= AVERAGE (セル範囲)
• 標準偏差　= STDEV (セル範囲)
• 相関係数　= CORREL (交通量のセル範囲 , 売上高のセル範囲)

 

散布図の作成

１．回帰式の推定

　「回帰分析」シートで、回帰式のパラメータ（切片、係数）を推定する。

回帰式の推定

「ツール」→「分析ツール」→「回帰分析」

回帰分析ダイアログ

　(1)説明される変数（Ｙ）の範囲
　(2)説明に使う変数（Ｘ）の範囲
　(3) (1)(2)で項目を含めて選択したので、ラベルの指定
　(4)分析結果の出力先
　(5)ＯＫ前に必ず確認！

回帰分析の出力

２．売上高の説明・予測

既存店舗の売上高の説明

　「回帰分析」シートで、説明された売上高、説明の誤差を計算します。

• 説明売上高：[D6] =ａの推定値(B46) * Ｘ(B6) + ｂの推定値(B45)
• 説明誤差：[E6] = Ｙの実績値(C6) - Ｙの説明値(Y^)(D6)

（注）ａ，ｂの推定値のセルを計算式の中に参照するときは、複写することを考えて、絶対番地（［Ｆ４］で指定）で書かく必要がある。

　

新規店舗候補の売上高の予測

　「回帰分析」シートで、新規店舗候補の予測売上高を計算します。（誤差は計算できない！）

• 予測売上高：[D24] =ａの推定値(B46) * Ｘ(B24) + ｂの推定値(B45)

（注）ａ，ｂの推定値のセルを計算式の中に参照するときは、複写することを考えて、絶対番地（［Ｆ４］で指定）で書かく必要がある。

「回帰分析」シート

３．散布図と回帰直線

　「回帰分析」シートで、散布図と回帰直線のグラフを作成します。

1. Ｂ，Ｃ，Ｄ列[B5:D20] を選択
2. グラフウィザード
   • 「散布図」
3. グラフ完成後、予測売上高の系列をＷクリックし、書式設定を変更してパターンを線で結ぶ

「説明売上高」系列の書式設定ダイアログ

完成したグラフ

課　題

課題8：回帰分析

締切：６／５（木）16:00

実習の０〜３を完成させなさい。 課題メール本文には、以下の考察を行いなさい。（3行程度） 回帰分析の適用例として、どの様な変数間の関係が考えられるか。具体的な二つの変数を挙げて、説明しなさい。 例：「気温」から「アイスクリームの売上」を説明する 保存するファイル名は、dat08ユーザID（例：dat08ue025555）とする ファイルをメールに添付する

《例》

To：kawaji@cc.seikei.ac.jp

Subject： dat08 ue025555

課題８　成蹊太郎 回帰分析適用のアイデア 夏暑いと冷たい物が食べたくなる。暑さの変数として「気温」を冷たい物の変数 として「アイスクリームの売上高」を考えれば、この間に、相関関係がありそう だ。よって、気温からアイスクリーム売上高を説明する回帰分析が考えられる。