経 営 情 報 分 析

第９回：データの予測(3)
重回帰分析

今日の目標

　前回の課題の解説

　複数の説明変数による重回帰分析を理解し、分析ツールによる方法を実習する。

　複数の説明変数から一つの被説明変数を予測する回帰分析を重回帰分析と呼ぶ。一つの説明変数による単回帰分析と、考え方や分析手順は同じである。

• 既知のサンプルから、回帰式を推定する（複数の回帰係数）
• 回帰式を利用して、未知のデータを予測する

前回の課題

• 分析の具体的な意味を意識する（数字遊びではない）
• 各係数から何が読みとれるか？
• この分析の前提（条件）は何か？

靴工場の生産量と製造費用の分析

Ｑ１．この回帰式を数式で表しなさい。変数の定義を明記のこと

回帰式：
＝ 1.51 Ｘ ＋ 469

　(被説明変数)：製造費用の予測値（万円／月）
　Ｘ(説明変数)　：生産量（ダース）

Ｑ２．生産量1単位あたりの製造費用の増加分を特に「限界費用」という。この靴工場でのダースあたりの限界費用はいくらか。

　回帰式の回帰係数は、Ｘ(説明変数)１単位あたりのＹ(被説明変数)の変化を表している。

限界費用 ＝ 回帰係数 ＝ 1.51（万円／ダース）

　このことは、「追加的な１ダースの靴の製造には、15,100円の製造費用の増加が予想される」ことを意味している。

Ｑ３．生産量が０の時、製造費用はいくらと推定されるか。また、なぜそう言えるのか、簡単に説明しなさい。

　回帰式の推定に用いたサンプルの生産量（Ｘ）の範囲は、

0 << 1,087 ≦ Ｘ ≦ 3,634

である。生産量が0という状況は、この範囲から大きく離れているので、回帰式による予測の適用は保証されない。よって、製造費用の予想はできない。

《参考：原価計算の費用構造論》

　回帰式の推定に用いるサンプルデータの費用構造が、生産量0まで変わらないと仮定すれば、

製造費用の予測値：469（万円／月）

　この製造費用は、全く製造を行わない場合でも発生する費用の合計である。原価計算では、固定費と呼んでいる。固定費には、機械設備の減価償却費、保険料、水道光熱費の基本料金、維持管理費など、生産量とは関係なく固定的に発生する費用が含まれる。

Ｑ４．この回帰分析は、洋菓子チェーン店の分析と比べて、予測のあてはまりが良いと言えるか。理由も一緒に簡単に説明しなさい。

靴工場の分析は、洋菓子チェーン店の分析と比べて、あてはまりが良い。

理由：回帰分析のあてはまりは、決定係数Ｒ²（重決定Ｒ２ではない！！）で測ることができる。

０ ＜ 洋菓子チェーン店(Ｒ²＝０．４６５) ＜ 靴工場(Ｒ²＝０．６４６) ＜ １

　「予測誤差・標準誤差が小さい」という答えは、惜しい。被説明変数のチラバリに対する予測誤差のチラバリを示すのが、決定係数である。

決定係数

回帰式の当てはまり度合いを測定する

決定係数Ｒ² ＝ １ − Σｅ²／Σ(Ｙ−Ｙm)²

Σｅ²：予測誤差（残差）ｅのチラバリ
Σ(Ｙ−Ｙm)²：被説明変数全体のチラバリ

+-------------Ｒ2------------+
0 ←低い　あてはまり　高い→ 1

• Ｒ²が高いとき…Ｙの変動のほとんどをＸで説明できる
  
• Ｒ²が低いとき…
  • ＹとＸは関係がない
    　or
  • Ｙの変動の一部はＸで説明できる ← Ｙに影響を与える他の要因が大きい

基礎理論

重回帰分析

　（Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３，...）→Ｙという相関関係と因果関係が観察されるとき、複数の説明変数（Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３，...）からＹの予測値（）を求める分析を重回帰分析という。

回帰式：＝ａ₀ ＋ ａ₁Ｘ_１ + ａ₂Ｘ_２ + ... + ａ_nＸ_n
　　　　　ｅ＝Ｙ−

　　　　：　被説明変数
Ｘ_1,2...,n 　：　説明変数
ａ₀　　　　：　Ｙ切片
ａ_1,2,...,n　 ：　偏回帰係数
ｅ　　　　　：　残差（予測誤差）

　回帰分析の仕組みや分析の手順、結果の解釈は、１変数による回帰分析の場合とほとんど変わらない。説明変数が一つのものを単回帰、複数のものを重回帰という。

組み入れ説明変数の選択

　一般に、分析に含められる説明変数が多いほど、回帰式のあてはまりは良くなり、決定係数Ｒ²は大きくなる（１に近づく）。しかし、やたらと説明変数の数を増やすことは、分析の意味や結果の解釈を分かり難くする。

　できるだけ少ない説明変数で決定係数が改善するように、組み込む説明変数の選択のバランスをとることが望ましい。

多重共線性

　洋菓子チェーンの例で、店の間口と品揃えにＸ_２＝50Ｘ_３という線形関係がある場合には、回帰式は一つに決まらない。

　このように、説明変数間に直線的な関係がある状況を多重共線性という。説明変数間に極めて高い相関がある場合には、どちらか一方の変数を外さなくてはならない。

洋菓子チェーン店の予測改善

説明変数の追加

　これまで、洋菓子チェーン店の売上高予測を行う場合に、説明変数として「駅の乗降客数」のみを選択していた。ある程度のあてはまりは得られるが、よりよい予測を行いたい。そこで、売上高と相関の高い「店の間口」「取扱品目数」の二つを説明変数に加えた重回帰分析を行うことにした。

	乗降客数(百人/日)	店の間口(m)	取扱品目数(品)	売上高 (万円/月)
ID	X1	X2	X3	Y
1	149	2.3	99	131
2	188	2.4	178	197
3	282	2.6	110	222
省略
15	174	3.2	151	166
A	125	2.5	100	???
B	207	3.5	150	???
C	572	4.5	200	???

Excelによる分析結果の解釈

(1)重決定係数Ｒ²　：　0.967　＝１−残差のチラバリ(2)／全体のチラバリ(3)

(4)各パラメータの推定値

(5)偏回帰係数＝０の帰無仮説を棄却できない確率

(6)回帰係数全体の有意性検定　全係数＝０の帰無仮説を棄却できない確率

回帰式

= 7.6 + 0.51 Ｘ₁ + 12.4 Ｘ₂ + 0.288 Ｘ₃

(被説明変数):洋菓子チェーン店の売上高（予測値）（万円／月）

説明変数
　X1:乗降客数（百人／日） X2:店の間口（ｍ） X3:取扱品目数（品）

実 習

　先の洋菓子チェーン店について、「駅の乗降客数」(X₁)，「店の間口」(X₂)，「取扱品目数」(X₃)の三つの説明変数から、「売上高」を予測したい。 bda09.xls をフロッピーディスクにコピーして、以下の重回帰分析を行うこと。

1. Ｘ_１→Ｙの回帰分析を行いなさい。
2. （Ｘ_２，Ｘ_３）→Ｙの重回帰分析を行いなさい。
3. （Ｘ_１，Ｘ_２，Ｘ_３）→Ｙの重回帰分析を行いなさい。

参　考

　授業時には説明しませんでしたが、質問が多かったグラフについて、追加説明します。興味のある人は参考にしてみて下さい。

　説明変数が複数ある重回帰分析では、単回帰のような散布図と回帰直線のＸＹグラフを作ることができません。説明変数がｎ個の場合、ｎ＋１次元グラフとなるからです。

　そこで、重回帰の場合、説明変数ごとのＸＹグラフを作成するか、被説明変数のＹ（実績値）と（予測値）のグラフを作成作成するなどの場合があります。

　下の例では、回帰式のあてはまりが良くなるに従って（1→2→3）、サンプルが、Ｙ＝の４５度線に集まっている様子が観察できます。

　離れたセル範囲を同時に選択するには、[Ctrl]を押しながら順にセル範囲を選択していきます。

例：実績値と予測値とのグラフ

課 題 ８

Ｑ１．　実習3.の重回帰分析について、Ｘの偏回帰係数をそれぞれ言葉で説明しなさい。
　例：「追加的に靴を１ダース製造すると、製造費用が15,100円増加することが予想される。」

Ｑ２．組み入れる説明変数が増えるにつれて、あてはまりが改善することを具体的な統計量を示して説明しなさい。

宛先(To:) kawaji@mserv.cc.seikei.ac.jp
標題(Subject:) 課題８ ユーザＩＤ
本文：
Ｑ１．
（乗降客数の係数）
　○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○が予想される。

（間口の係数）
　○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○が予想される。

（取扱品目の係数）
　○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○が予想される。

Ｑ２．
　○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○○

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添付ファイル名：bda09ユーザＩＤ.xls

応用課題８

　ワークシート bda09a.xls は、「ドリーム遊園地」の入場者数、気温と、アイスクリームの売上高のデータである。これをサンプルとして、アイスクリームの売上高の予測式を推定する重回帰分析を行いなさい。↑実習に従って分析を行い、以下の問いに答えること。

Ｑ１．この回帰式を数式で表しなさい。変数の定義を明記のこと

Ｑ２．説明変数「気温」の偏回帰係数が何を示しているのか説明しなさい。