経 営 情 報 分 析

第10回：データの予測(4)
残差分析，ダミー回帰

今日の目標

前回の課題の復習

残差に注目して、新たな説明変数を追加する。
質的変数を分析に組み入れるために、ダミー変数に変換してダミー回帰を行う。

前回の課題

• 重回帰分析：複数の説明変数で回帰分析を行う
• 決定係数Ｒ²は、あてはまりの程度を示す
• 偏回帰係数は、各説明変数単位あたりの被説明変数の増加

課題８：洋菓子チェーン店の売上高予測

（Ｘ₁，Ｘ₂，Ｘ₃）→Ｙの重回帰分析

回帰式
= 7.6 + 0.51 Ｘ₁ + 12.4 Ｘ₂ + 0.288 Ｘ₃

　被説明変数
　:洋菓子チェーン店の予測売上高（万円／月）
　説明変数
　Ｘ₁:乗降客数（百人／日） Ｘ₂:店の間口（ｍ） Ｘ₃:取扱品目数（品）

１．Ｘの偏回帰係数をそれぞれ言葉で説明しなさい。

他の条件が等しければ、

• Ｘ₁の偏回帰係数：乗降客数が100人多い駅の店舗は、月5,100円だけ売上高が多いことが予想される。
• Ｘ₂の偏回帰係数：店の間口が1m増加するにつき、月124,000円だけ売上高が増加することが予想される。
• Ｘ₃の偏回帰係数：扱う商品が1品目増えれば、月2,880円だけ売上高が増加することが予想される。

２．組み入れる説明変数が増えるにつれて、あてはまりが改善することを具体的な統計量を示して説明しなさい。

　回帰分析のあてはまりは、決定係数Ｒ²で測ることができる。それぞれの分析の決定係数を比較すると、変数を追加するごとに決定係数が増えている。このことから、あてはまりが改善していることが示された。

０ ＜ Ｒ²(Ｘ₁) = 0.465 ＜ Ｒ²(Ｘ₂,Ｘ₃) = 0.594 ＜ Ｒ²(Ｘ₁,Ｘ₂,Ｘ₃) = 0.967 ＜ １

応用課題８：ドリーム遊園地のアイスクリーム売上予測

１．この回帰式を数式で表しなさい。変数の定義を明記のこと

回帰式
= -778,007 + 22.77 Ｘ₁ + 28892 Ｘ₂

　被説明変数
　:アイスクリームの予測売上高（円／日）
　説明変数
　Ｘ₁:入場者数（人／日） Ｘ₂:気温（度）

２．説明変数「気温」の偏回帰係数が示すものを説明しなさい。

　気温が１度高いと、アイスの売上高が28,892円増加することが予想される。

基礎理論

残差分析

　回帰分析の予測誤差である残差は、分析に組み込んだ説明変数では説明できないチラバリ部分である。この残差のチラバリを観察すれば、回帰式のあてはまりを改善できる場合がある。

• 説明変数それぞれについて、非線形な傾向や、分散が等しくない場合
  　→非線形の回帰分析を試みる
• 残差を時系列に並べてみると、季節変動などの周期性が観察される場合（注：自己相関）
  　→季節要因をダミー変数として分析に加える

ダミー変数

　質的変数である分類尺度の説明変数を回帰分析に組み入れるためには、０または１を値とするダミー変数を用いる。偏回帰係数は同じだが、切片のみが異なる二つの回帰式が想定できる。

靴工場の製造費用

残差分析

　生産量で予測した製造費用の残差を時系列の折れ線グラフにすると。

　夏・冬の残差は正、春・秋の残差は負である傾向が観察される。これは、生産量だけで製造費用を予測した場合、夏・冬には予測より多くの費用が発生し、春・秋には予測よりも少ない費用しか発生しないことを意味している。

　調査の結果、夏・冬には、工場内のエアコンをフル稼働させるため、多くの電力費が発生していることが判明した。この季節要因を回帰分析に組み入れるために、ダミー変数を利用する。

ダミー回帰

　季節要因を分析に加えたい。しかし、季節変数は質的データなので、直接説明変数にはできない。そこで、ダミー変数を導入する。ダミー変数は、０または１のみの値をとる変数である。

Ｘ₂：季節｛春、夏、秋、冬｝→ Ｚ₂：季節のダミー変数{0,1}

• Ｘ₂ = 夏 or 冬　→　Ｚ₂ = １
• Ｘ₂ = 春 or 秋　→　Ｚ₂ = ０

　生産量（Ｘ₁）と季節のダミー変数（Ｚ₂）を説明変数として重回帰分析を行う。

回帰式：
₂=14.0 + 1.53 Ｘ₁ + 874 Ｚ₂

　₂：製造費用の予測値（万円／四半期）
　Ｘ₁：生産量（ダース／四半期）
　Ｚ₂：季節のダミー変数（１：夏、冬，０：春、秋）

実 習

　靴工場の製造費用分析について、季節要因をダミー変数として組み込んだ重回帰分析を行う。 bda10.xls をフロッピーディスクにコピーしてから、以下の実習を行うこと。

1. 「残差分析」シート：生産量から製造費用を予測する回帰分析を行いなさい。
2. 「残差分析」シート：残差の時系列グラフを作成し、季節要因が含まれていることを観察しなさい。
3. 「ダミー回帰」シート：生産量と季節（ダミー変数）から製造費用を予測する重回帰分析を行いなさい。
   • Ｚ₂の列は、if関数を利用して夏・冬の場合１，春・秋の場合０となるよう入力する。
     　例：[H6] =IF(OR(C6="夏",C6="冬"),1,0)
   • 生産量、季節のダミー変数から、製造費用を予測する回帰分析を行う。
   • 予測値、残差を計算する。

課 題 ９

残差分析とダミー回帰

• Ｑ１．実習３の回帰式を示しなさい。変数の説明もすること。
• Ｑ２．実習３で、季節ダミー変数の偏回帰係数が示す意味を説明しなさい。
• Ｑ３．季節要因を組み入れたことで、分析のあてはまりが改善したことを示しなさい。

宛先(To:) kawaji@mserv.cc.seikei.ac.jp
標題(Subject:) 課題９ ユーザＩＤ
本文：
Ｑ１．
Ｑ２．
Ｑ３．
-----
添付ファイル名：bda10ユーザＩＤ.xls

　メールへのファイル添付の方法は、『情報リテラシ』（センター発行）p.186を参照のこと。

応用課題９．１

　余裕のある人は、実習３で推定した回帰式のグラフを作成しなさい。

• 横軸：生産量(Ｘ₁)
• 縦軸：製造費用（Ｙ，₂）
• 回帰直線は、傾きが同じで切片の異なる２本の直線となる
• Excelのグラフ機能では、この２本のグラフを簡単に描くことはできない。それぞれの予測値をプロットしておき、図形機能で直線を上書きするとよい。

季節要因を組み込んだ回帰直線

応用課題９．２

　ワークシート bda10a.xls は、「ドリーム遊園地」の入場者数、気温、天気と、アイスクリームの売上高のデータである。これをサンプルとして、アイスクリームの売上高の予測式を推定する重回帰分析を行いなさい。また、以下の問いに答えること。

Ｑ１．この回帰式を数式で表しなさい。変数の定義を明記のこと

Ｑ２．天気のダミー変数（Ｚ₁,Ｚ₂）の偏回帰係数が示すものをそれぞれ説明しなさい。

アイスクリームの売上高予測

　注：前回同様、説明変数Ｘが複数あるので、ＸＹグラフは作成できません。